Boolesche Algebra und Grundgatter

Die Boolesche Algebra beschäftigt sich mit dem Rechnen von Wahrheitswerten. Sie ist die Basis für den Entwurf von digitalen Schaltungen.

Mit Hilfe der logischen Operatoren AND, OR, NOT können beliebig viele Elemente verknüpft werden. Es gibt weitere Gatter wie XOR, NAND und NOR, diese lassen sich allerdings ebenso gut mit den Grundgattern AND, OR und NOT darstellen.
Boolesche Gatter sind notwendig, um elementare Boolesche Ausdrücke als physikalische Schaltung zu realisieren.

Schaltsymbole

AND (Konjunktion) A ∧ B
OR (Disjunktion) A ∨ B
NOT ¬ A
XOR (Antivalenz) A ⊕ B
XNOR (Äquivalenz) A ↔ B
NAND (NOT AND) A ⊼ B
NOR (NOT OR) A ⊽ B

Es gibt einige Regeln bei der Verwendung der Schaltsymbole. Um Variablen zu negieren kann anstatt des vorangestellten ¬ Symbols, auch eine Überstreichung der Variable oder des Ausdrucks zur Negation führen. Zudem ist es üblich das Konjunktionszeichen (∧) wegzulassen: AB ≙ A∧B.
Für die XOR-Verknüpfung gibt es eine andere Schreibweise: (A ∧ B) ∨ (A ∧ B).
Ansonsten gibt es eine Rangordnung in der folgenden Reihenfolge zu beachten ist, ähnlich wie bei Punkt vor Strich: Konjunktion vor Disjunktion, Disjunktion vor Äquivalenz und Äquivalenz vor Antivalenz.

Gesetze / Rechenregeln

Kommutativgesetzea ∧ b = b ∧ aa ∨ b = b ∨ a
Assoziativgesetze(a ∧ b) ∧ c
= a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c
= a ∨ (b ∨ c)
Idempotenzgesetzea ∧ a = aa ∨ a = a
Distributivgesetzea ∧ (b ∨ c) =
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) =
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Neutralitätsgesetzea ∧ 1 = aa ∨ 0 = a
Extremalgesetzea ∧ 0 = 0a ∨ 1 = 1
Doppelnegationsgesetz¬(¬a) = a 
De Morgansche Gesetze¬(a ∧ b)
= ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b)
= ¬a ∧ ¬b
Komplementärgesetzea ∧ ¬a = 0a ∨ ¬a = 1
Absorptionsgesetzea ∨ (a ∧ b) = aa ∧ (a ∨ b) = a

Schaltnetze

Werden mehrere Boolesche Gatter miteinander verknüpft, ist die Rede von einem Schaltnetz. Die Gatter sind dabei rückkopplungsfrei angeordnet, was bedeutet, dass die Ausgänge der Schaltung lediglich von den Werten der Eingangsvariablen abhängen. Ändert sich der Zustand am Eingang, so hat dies sofort Auswirkung auf den Ausgang, unabhängig von zuvor vorhandenen anderen Zuständen am Eingang. Weiterhin kann man beobachten, dass der Ausgangszustand für einen bestimmten Eingangszustand immer der gleiche ist.

ABCA ∧ BB ∨ CX = (A ∧ B) ∨ (B ∨ C)¬ X
0000001
0010110
0100110
0110110
1000001
1010110
1101110
1111110

Komplexere Schaltnetze

Bei der Betrachtung komplexerer Schaltnetze, vergibt man den Ausgängen der Gatter häufig Namen beziehungsweise Buchstaben, um die Übersicht zu bewahren.
In folgendem Beispiel, werden die Ausgänge S, T und U benutzt, um den Endwert der Schaltung zu berechnen.

ABCTSUX
0000011
0010110
0101101
0111101
1001000
1011101
1100110
1110110

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Halbaddierer

Der Halbaddierer ist die einfachste Rechenschaltung. Ein Halbaddierer ist ein Schaltnetz, das 2 einstellige binäre Zahlen addieren kann. Das Schaltnetz besteht aus 2 Eingängen A und B, und 2 Ausgängen S und Ü. S steht hierbei für die Summe, Ü für den Übertrag. Die Summe wird durch eine XOR-Verknüpfung berechnet, der Übertrag durch eine AND-Verknüpfung.

ABSÜ
0000
0110
1010
1101

Volladdierer

Möchte man mehrere Zahlen addieren, benötigt man eine Schaltung die 3 einstellige binäre Zahlen addieren kann, da es zu einem Übertrag kommen kann und dieser mit addiert werden muss. Ein Volladierer ist ein Schaltnetz, das diese Funktion realisiert. Das Schaltnetz besteht aus 3 Eingängen A, B und Cin, und 2 Ausgängen S und Cout. Der Volladdierer setzt sich aus 2 Halbaddieren und einer OR-Verknüpfung zusammen.

ABCinCoutS
00000
00101
01001
01110
10001
10110
11010
11111

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