Informationsdarstellung

Das bekannteste Zahlensystem, welches wir täglich benutzen, ist das Dezimalsystem (10er-system). Wie Sie wissen gibt es im Dezimalsystem die Zahlen 0-9.

Es gibt allerdings zahlreiche weitere Zahlensysteme. Speziell in der Informatik ist häufig die Rede vom Hexadezimalsystem (16er-system) und vom Binärsystem (2er-System). Das Binärsystem besteht nur aus Nullen und Einsen. Das Hexadezimalsystem besteht aus den Ziffern 0-9 und A-F. A repräsentiert dabei die Zahl 10, B die Zahl 11, …, F die Zahl 15. Somit besteht das Hexadezimalsystem aus 16 Ziffern.

Warum benötigt man in der Informatik auch andere Zahlensysteme? Die kleinste Einheit in einem Computer ist 1 Bit. Ein Bit kann entweder 0 oder 1 sein – an oder aus, wahr oder falsch. 8 Bit sind 1 Byte, somit kann 1 Byte 256 verschiedene Kombinationen von Nullen und Einsen haben. Diese Kombination, kann alle möglichen Zeichen darstellen. Welches Zeichen zu welcher Kombination aus Nullen und Einsen gehört, können Sie der ASCII-Tabelle entnehmen. Der Amerikanische Standard Code für den Informationsaustausch“ ist die Grundlage der Bits basierenden Kodierung für Zeichensätze.

Häufig wird jedoch die Hexadezimalschreibweise gewählt, da die Daten, welche durch Nullen und Einsen repräsentiert werden, zu lange und unübersichtlich werden.

Möchte man nun Daten speichern, werden diese im Hauptspeicher abgelegt. Zu beachten ist, dass zu jedem Wort, das gespeichert wird, die Adresse unter der die Daten zu finden sind, gehört. Das Adresswort, welches die Speicheradresse des Datenwortes angibt. Den Transport übernehmen dabei Adress- und Datenbus.

Binärsystem

Umrechnung positiver ganzer Zahlen

Die umzurechnende Dezimalzahl wird durch die Basis 2 geteilt. Der Rest wird notiert. Es wird solange geteilt, bis der Quotient den Wert 0 erreicht. Die Reste ergeben die binäre Zahl, von unten nach oben gelesen.

Möchte man den umgekehrten Weg gehen, also eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umwandeln muss man die von der Position abhängige Wertigkeit der jeweiligen Ziffern berechnen. Die Wertigkeit der Ziffern ist
2n, ..., 22, 21, 20

				
	Dezimal -> Binär		Binär -> Dezimal
	29 : 2 = 14 R 1			1    1   1   0   1
	14 : 2 = 7  R 0			16 + 8 + 4 + 2 + 1
	7  : 2 = 3  R 1			
	3  : 2 = 1  R 1			1*16 + 1*8 + 1*4
	1  : 2 = 0  R 1			+ 0*2 + 1*1 

	-> 29 = 11101		  -> 11101 = 29       
				
				

 

Anzahl BitsWertebereich
40 ... 15
80 ... 255
160 ... 65535

Umrechnung positiver gebrochener Zahlen

Die umzurechnende gebrochene Dezimalzahl wird mit der Basis 2 multipliziert. Durch Abspaltung der vorderen Ziffer und fortgesetzter Multiplikation mit dem hinteren Teil erhält man die Binärzahl der reellen Dezimalzahl. Die Abspaltungen der ersten Ziffer ergeben die binäre Zahl, von oben nach unten gelesen.

Möchte man den umgekehrten Weg gehen, also eine Binärzahl in eine reelle Dezimalzahl umwandeln muss man die von der Position abhängige Wertigkeit der jeweiligen Ziffern berechnen. Die Wertigkeit der Ziffern ist
2-1, ..., 2-2, 2-3, 2n.

Potenzen mit negativen Exponenten können folgendermaßen umgeschrieben werden:
2-3 = 1/23 = 1/8 = 0,125

	Dezimal -> Binär		Binär -> Dezimal
	0,25* 2 = 0,5	        0   ,   0      1      0
	0,5 * 2 = 1,0                  0,5 + 0,25 + 0,125
	0,0 * 2 = 0,0
							0*0,5 + 1*0,25 + 0*0,125 	       
	-> 0,25 = 0,010	      -> 0,010 = 0,25

Umrechnung vorzeichenbehafteter ganzer Zahlen im Zweierkomplement

Hier kommt die Zweierkomplementdarstellung zum Einsatz. Diese wird genutzt, um negative Zahlen im Binärsystem darstellen zu können. Hierbei wird das erste Bit als Vorzeichenbit missbraucht. Positive Zahlen beginnen mit einer 0, negative mit einer 1. Das Zweierkomplement einer Zahl erhält man, indem man die Binärdarstellung der Zahl bitweise invertiert und anschließend eine 1 addiert.

				
	Zweierkomplement der Zahl 4 (000100) bilden

	000100 = 4
	-> invertieren und 1 addieren

	111011
	   + 1
	111100 = - 4, da

	-32 + 16 + 8 + 4 = -4 sind.
				
				
Anzahl BitsWertebereich
4-8 ... 7
8-128 ... 127
16-32768 ... 32767

Rechenoperationen

				
	Addition		
	0 + 0 = 0 Übertrag 0
	0 + 1 = 1 Übertrag 0
	1 + 0 = 1 Übertrag 0
	1 + 1 = 0 Übertrag 1	

	11  |  1011
	+   |
	2   |  0010
	-----------
	13  |  1101

	Multiplikation		
	0 * 0 = 0
	0 * 1 = 0
	1 * 0 = 0
	1 * 1 = 1

	 13  *  3
	1011 * 011

	0 * 1011 +    0000
	1 * 1011 +     1011
	1 * 1011        1011
				  ------
	39  	 =	  100111

				

Hexadezimalsystem

Die umzurechnende Dezimalzahl wird durch die Basis 16 geteilt. Der Rest wird notiert. Es wird solange geteilt, bis der Quotient den Wert 0 erreicht. Die Reste ergeben die hexadezimale Zahl, von unten nach oben gelesen.

Möchte man den umgekehrten Weg gehen, also eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umwandeln muss man die von der Position abhängige Wertigkeit der jeweiligen Ziffern berechnen. Die Wertigkeit der Ziffern ist
16n, ..., 162, 161, 160

Beim Hexadezimalsystem ist zu beachten, dass die Zahlen 10-15 als Buchstaben dargestellt werden. Somit wird die 11 zu einem B.

Außerdem gibt es eine Besonderheit, bzw. eine Erleichterung beim Umrechnen einer Binärzahl in eine Hexadezimalzahl. Bildet man aus der binären Zahl 4er Päckchen, kann die Zahl so gut wie abgelesen werden. Die 4er Päckchen bildet man von rechts nach links, und stockt den linken 4er Block mit Nullen auf.

				
	Dezimal -> Hexadezimal		Binär -> Hexadezimal
	1457 : 16 = 91 R 1			0 0 1 0 . 1 0 1 1  
	91   : 16 = 5  R 11	(= B)      2         11
	5    : 16 = 0  R 5

	-> 1457 = 5B1				-> 00101011 = 2B
				
				
	Hexadezimal -> Dezimal
	386
	3*256 + 8*16 + 6*1
	-> 386 = 902
				
				

Oktalsystem

Die umzurechnende Dezimalzahl wird durch die Basis 8 geteilt. Der Rest wird notiert. Es wird solange geteilt, bis der Quotient den Wert 0 erreicht. Die Reste ergeben die Oktalzahl, von unten nach oben gelesen.

				
	Dezimal -> Oktal
	204 : 8 = 25 R 4	
	25  : 8 = 3  R 1
	3   : 8 = 0  R 3	

	-> 204 = 314

				
				

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Zahlensysteme im Überblick

DezHexBin
000000
110001
220010
330011
440100
550101
660110
770111
881000
991001
10A1010
11B1011
12C1100
13D1101
14E1110
15F1111
201410100
5032110010
100641100100
1408C10001100
180B410110100
200C811001000
5001F4111110100
10003E81111101000